Was ist Mathematica?
    Wikipedia antwortet:
    "Das Softwarepaket "Mathematica" enthält unter anderem
      	- ein Computeralgebrasystem zur symbolischen Verarbeitung von Gleichungen
      	- eine Numerik-Software zum numerischen Lösen oder Auswerten von Gleichungen
      	- ein Visualisierungs-Tool zum Darstellen von Graphen
      	- eine Programmiersprache, die Elemente des prozduralen, objektorientierten, funktionalen und regelbasierten Programmierens in sich vereint."

Was wollen wir machen?
    Rechnen mit Konstanten, Variablen,  Funktionen, Vektoren und Matrizen, (Differential-)Gleichungen lösen (lassen) und unsere Lösung darstellen (plotten) und zu guter Letzt Hilfe bekommen

Rechnen mit Konstanten  - oder - Das Wunder von Shift + Enter

5 + 7

Rechnen mit Variablen  - oder - Symbolische Verarbeitung ?????

a + b
a + b^2 - (c*d)/(phi - epsilon) + Pi

Ersetzen - einfach

x/2 + 1

x/2 + 1  /.  x -> 2

Funktionen I- definieren, Argument einsetzen und ausrechnen

f[x_] = x^2
g[x_,  phi_,  t_] =  3  x + phi*t^2

    
f[3]
g[1, 2, 3]
f[irgendwas]

Funktionen II - Differenzieren: mehrfach, nach verschiedenen Variablen, Kettengeregele

f[x_] = x^3
D[f[x], x]
D[D[f[x], x], x]
D[f[x], {x, 2}]

g[x_, y_] = x^2  +  y^3
D[g[x, y], x]
D[g[x, y], y]

k  =  Sin[x];
f[k_] = k^2;
D[f[k], k]
D[f[k], x]

Listen, Vektoren und Matrizen...

liste  =  {1, 2, 3, a, irgendwas, Pi}

vektor  =  {a, b, c}
vektor  // MatrixForm

vektor1  =  {a, b, c} ;  vektor2  =  {1, 2, 3};  
    vektor3 = {π, ∞, hallo};
matrix = {vektor1,  vektor2,  vektor3}
matrix // MatrixForm

...und wie man damit rechnen kann

vektor1 . vektor2
Cross[vektor1, vektor2]

    
matrix1 = {{a, b, c}, {li, la, lu}, {po, pa, 
            nz}};
matrix2 = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 
            9}};
matrix1 . matrix2 // MatrixForm

matrix3 = {{a, b}, {c, d}};
matrix3 // MatrixForm
Inverse[matrix3] // MatrixForm
Det[matrix3]
Transpose[matrix3] // MatrixForm

Gleichungen, Gleichungssysteme und ihre Lösungen

f[x_] = x^2 - 3;
Solve[f[x] == 0, x]

gls = {x^2 == 9, 5  x == 15 }
Solve[gls,  x]

lösung = Solve[f[x] == 0, x];
f[x] /. lösung

Differentialgleichungen lösen

DSolve[y''[x] == a*y[x],  y,  x]
DSolve[{y'[x] == y[x],  y[0] == 2},  y,  
      x]

lsg = 
        DSolve[{y'[x] == y[x],  y[0] == 2}, y, 
          x];
y[x] /. lsg

DGLs numerisch lösen (Valentins Beispiel)...

m = 1;  g = 10;  vx = 1.0;  
    vy = 2.0;

lösung = 
      NDSolve[{x''[t] == 0,  y''[t] == -m*g,  
          x[0] == 0,  
          y[0] == 0,  x'[0] == vx,  y'[0] == 
            vy},  {x, y}, {t, 0, 1},  MaxSteps ->  10000]

{{x->InterpolatingFunction[{{0.`, 1.`}}, "<>"],y->InterpolatingFunction[{{0.`, 1.`}}, "<>"]}}

...und die Lösung plotten

Plot[
      Evaluate[{x[t], y[t]} /. lösung],  {t, 0, 1}]

ParametricPlot[
      Evaluate[{x[t], y[t]} /. lösung],  {t, 0, 1}]

Hilfe holen
- Mathematica-Hilfe sehr umfangreich, besonders nützlich für die Syntax (wenn man weiß, wie der Befehl heißt)
-wenn man es nicht weiß: jemanden fragen,der sich besser damit auskennt (schnell, aber riskant) oder das Internet fragen (dauert manchmal länger, nervt aber niemanden und man hält sich die erste Option frei)
- es gibt zig Skripte, Einführungen, Tutorials im Netz (viele davon viel schöner, als diese hier)
- man kann sich Bücher holen, etc.
Sachen, die ich zum nachschauen benutzt habe (sind nur Beispiele und unter den ersten Treffern einer bekannten Suchmaschine):
       http://wwwnlds.physik.tu-berlin.de/~elsholz/mathematica.html
       http://www-com.physik.hu-berlin.de/~bunk/kurs/mathematica/mathematica.html