Lehrveranstaltung 3233 L 420
Prof. Dr. Harald Engel [1]
Dipl. Phys. Jakob Löber [2]

Wahlpflichtveranstaltung oder Vertiefungsfach für Dipl.-Physik-Studierende und Master-Studierende und Studierende anderer naturwissenschaftlicher Studiengänge.

Der Besuch dieser Lehrveranstaltung (VL+UE) entspricht 12 ECTS-Punkten.

Inhalt:
Die Vorlesung behandelt Konzepte aus der Statistischen Physik des Nichtgleichgewichts.

Im Einzelnen:

Statistische Beschreibung der spontanen Ausbildung makroskopischer Strukturen fern vom thermodynamischen Gleichgewicht mit Methoden der stochastischen Theorie nichtlinearer Prozesse (verallgemeinerte Brownsche Bewegung, Langevin-, Master- und Fokker-Planck-Gleichung, Ordnungsparameterkonzept) an Beispielen aus der Physik, Biologie und Chemie (Musterbildung in Flüssigkeiten im Ergebnis hydrodynamischer Instabilitäten, nichtlineare Wellen in biologischen und chemisch reagierenden Systemen, Turing-Strukturen).

Zeit und Ort:
Vorlesung (ab 11.04.2012):
Mittwoch, 12:00-14:00 Uhr, ER 164
Donnerstag. 14:00-16:00 Uhr, EW 202 

Übung (ab 18.04.2012):
Mittwoch, 10:00-12:00, EW 731

• Mindestens 50% aller Übungspunkte (Abgabe in 2er Gruppen)
• Regelmäßige und aktive Teilnahme an der Übung
• Bearbeitung und Vorstellung eines Projektes (Projektvorstellung in der letzten Vorlesungswoche)

L. Arnold, Stochastische Differentialgleichungen – Theorie und Anwendungen, Oldenbourg, München, Wien, 1973.

C.W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods, Springer, Berlin, 1983, 1985.

H. Haken, Synergetics. Introduction and Advanced Topics, Springer, 2004.

W. Horsthemke, R. Lefever, Noise-Induced Transitions. Theory and Applications in Physics, Chemistry, and Biology. Springer, 1984.

J. L. Klimontovich, Statistical Physics. Harwood Academic Publishers, 1986.

A. S. Mikhailov, Foundations of Synergetics I. Distributed Active Systems. Springer, 1990.

R.L. Stratonovich, Topics in the Theory of Random Noise, Vols. I and II, Gordon and Breach, 1963.

Prof. Dr. Harald Engel: Mittwoch, 14:30-16:00, EW 738
Dipl. Phys. Jakob Löber: Montag, 14:30-16:00, EW 737

Prof. Dr. Harald Engel: harald.engel(at)tu-berlin.de
Dipl. Phys. Jakob Löber: jakob(at)physik.tu-berlin.de

Die Herleitung einer verallgemeinerten Langevin-Gleichung kann
anhand des exakt lösbaren klassischen Caldeira-Leggett Modells
gezeigt werden. Dabei werden das Bad und das System als
harmonische Oszillatoren angenommen. Die Mori-Zwanzig-Theorie
verallgemeinert diese Ableitung für beliebige Bäder.

Quellen: 

• Scholarpedia Eintrag zum Caldeira-Leggett Modell [19]
• H. Grabert: “Projection Operator Techniques in Nonequilibrium Statistical Mechanics”
• Denis J. Evans and Gary P. Morriss: “Statistical Mechanics of NonEquilibrium Liquids” [20]
• M. Tuckerman: Statistical Mechanics [21], lecture 24 [22]
• Paper: Ford, Kac, Mazur: "Statistical mechanics of assemblies of coupled oscillators" [23]

Die BBGKY-Hierarchie leitet eine Bewegungsgleichung für die Phasenraumdichte ρ_n für n Teilchen aus der Liouville-Gleichung für die Phasenraumdichte ρ_N eines Hamiltonschen Systems aus N Teilchen her. Es zeigt sich, dass dabei eine Hierarchie gekoppelter Gleichungen auftritt, die die Phasenraumdichte ρ_n für n Teilchen mit jener für n+1 Teilchen koppelt. Unter der Annahme kleiner Teilchendichte sowie weiterer Annahmen kann daraus die Boltzmann-Gleichung, also eine Bewegungsgleichung für die Einteilchenverteilungsfunktion ρ₁ abgeleitet werden. Lösungen der Boltzmann-Gleichung erfüllen ein H-Theorem und können für die Beschreibung irreversibler Prozesse benutzt werden. Aus der Boltzmann-Gleichung lassen sich
Transportkoeffizienten wie z. B. der Diffusionskoeffizient D sowie die vollen hydrodynamischen Navier-Stokes Gleichungen mithilfe des Chapman-Enskog-Verfahrens ableiten.

Quellen:

• J. R. Dorfman: “An Introduction to Chaos in Nonequilibrium Statistical Mechanics”
• R. Balescu: “Equilibrium and Nonequilbrium Statistical Mechanics”
• Chapman-Enskog-Verfahren [24]
• lecture notes [25]
• G. Schön, Vorlesung Statistische Physik [26]

Ausgehend von einem Hamiltonschen System wird
störungstheoretisch die Antwort eines Systems auf eine äußere
Kraft berechnet. Die verallgemeinerte Suszeptibilität Χ wird dabei durch die Eigenschaften des ungestörten Systems und der
Störung ausgedrückt. Das erlaubt die Ableitung der
Einsteinrelation und anderer Transportkoeffzienten sowie den
Beweis des quantenmechanischen und klassischen
Fluktuations-Dissipations-Theorems.

Quellen:

• M. Tuckerman: Statistical Mechanics [27], lecture 21 [28]
• U. M. B. Marconi, A. Puglisi, L. Rondoni, A. Vulpiani: "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics" [29]
• G. Schön, Vorlesung Statistische Physik [30]
• Landau, Lifshitz: "Statistical Physics"
• Denis J. Evans and Gary P. Morriss: “Statistical Mechanics of NonEquilibrium Liquids” [31]
• Buchkapitel [32]

Ausgehend von stochastischen Gleichungen (Langevin-,
Fokker-Planck-, Mastergleichungen) und ihrer thermodynamischen
Interpretation kann das Fluktuationstheorem abgeleitet werden,
welches auch fernab vom thermodynamischen Gleichgewicht gültig
ist. Unter der Bedingung reversibler mikroskopischer Gleichungen
läßt sich auch ein Fluktuationstheorem für die Entropieproduktion
und somit der 2. Hauptsatz der Thermodynamik ableiten.
Ebenfalls im Rahmen stochastischer Gleichungen läßt sich der
Wirkungsgrad einer realistischen Wärmekraftmaschine bestimmen, der
sich im Grenzfall unendlich langsamer Prozessführung
(quasistatische Zustandsänderung) auf den bekannten
Carnot-Wirkungsgrad einer idealen Wärmekraftmaschine reduziert,
deren Leistung im quasistatischen Limes 0 ist.

Quellen:

• U. Seifert, lecture notes [33]
• U. Seifert: "Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems, and molecular machines" [34]
• Ken Sekimoto: “Stochastic Energetics”
• Papers:
  • U. Seifert: "Entropy Production along a Stochastic Trajectory and an Integral Fluctuation Theorem" [35]
  • C. van den Broeck: "Thermodynamic Efficiency at Maximum Power [36]"
  • M. Esposito, K. Lindenberg, C. van den Broeck, : "Universality of Efficiency at Maximum Power" [37]

Die chemische Mastergleichung läßt sich unter gewissen Annahmen
rigoros aus mikroskopischen Gleichungen ableiten. Das Lösen der
chemischen Mastergleichung für große Reaktionsnetzwerke ist aber
weder analytisch noch numerisch möglich. Deswegen wird die
Mastergleichung vereinfacht zu einer Chemischen
Langevin-Gleichung. Im Grenzfall verschwindender Rauschintensität
reduzieren diese sich zu oftmals nichtlinearen Ratengleichungen. 

Quellen:

• N. G. van Kampen: “Stochastic Processes in Physics and Chemistry”
• W. Huber: “Die Beschreibung von Reaktions-Diffusions-Prozessen durch Mastergleichungen“ [38]
• R. Erban, J. Chapman, P. Maini: "A practical guide to stochastic simulations of reaction-diffusion processes" [39]
• J. Ross: "Thermodynamics and Fluctuations far from Equilibrium"
• Papers
  • D. T. Gillespie: “Exact Stochastic Simulation of Coupled Chemical Reactions“ [40]
  • D. T. Gillespie: “A rigorous derivation of the chemical master equation” [41]
  • D. T. Gillespie: “The chemical Langevin equation [42]”

Quellen:

• Ilya Prigogine: "Introduction to Thermodynamics of Irreversible Processes"
• I. Prigogine, P. Glanssdorf: “Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations”
• L. Reichl: “A Modern Course in Statistical Physics”

Projekt von Maximilian Thess & Co.

Quellen:

• D. H. Zanette, S. C [43]. Manrubia: “Role of Intermittency in Urban Development: A Model of Large-Scale City Formation” [44]
• S. C. Manrubia, D. H. Zanette: “Intermittency model for urban development” [45]
• Martin B. Short, P. Jeffrey Brantingham, Andrea L. Bertozzi, George E. Tita: “Dissipation and displacement of hotspots in reaction-diffusion models of crime" [46]
• slime mold growth resembles network of infrastructure in tokyo bay area [47]

Stochastische Resonanz wurde in der Vorlesung vorgestellt. Es
gibt viele Beispiele in der Natur, in denen Stochastische
Resonanz experimentell nachgewiesen wurde.

In anregbaren Systemen kann selbstinduizerte Stochastische Resonanz auftreten, so daß im verrauschten System oszillatorische Zustände auftreten, während hingegen das deterministische System im homogenen Zustand
verbleibt.

 Quellen:

• Gammaitoni, Hänggi, Jung, Marchesoni: "Stochastic Resonance" [48]
• P. Jung, P. Hänggi: "Stochastische Resonanz. Ein neues Verfahren, schwach verrauschte Signale zu verstärken." [49]

Bownsche Motoren wurden in der Vorlesung vorgestellt, aber nur
wenige Ratschenmechanismen konnten behandelt werden. Die
möglichen Arten von Ratschen lassen sich klassifizieren, können
aber meist nicht mehr analytisch exakt gelöst werden, sondern
müssen störungstheoretisch behandelt werden. Viele Beispiele für
Brownsche Motoren lassen sich in der Natur, insbesondere in
biologischen Systemen, finden.

Quellen:

• P. Reimann: "Brownian motors: noisy transport far from equilibrium" [50]
• P. Reimann, P. Hänggi: "Introduction to the physics of Brownian motors" [51]
• R. D. Astumian, P. Hänggi: "Brownian Motors" [52]
• M. Mickler, T. Hugel: " [53]Molekulare Motoren und künstliche Nanomaschinen. Energieumwandlung in Polymeren." [54]
• Pressemitteilung Max-Planck-Gesellschaft: "Brownsche Motoren als molekulare Siebe" [55]
• Applet zu Brownian Motor [56]

Quellen:

• J. D. Murray: "Mathematical Biology: II. Spatial Models and Biomedical Applications"

Dieser mathematische Ansatz versucht, makroskopische Irreversibilität direkt aus den Eigenschaften Dynamischer Systeme, bestehend aus vielen Teilchen, zu verstehen. Die ist für den Fall eines allgemeinen Hamiltonschen Systems sehr schwer und unvollendet. Deswegen benutzt man abstrakte mathematische Modelle wie Billiards und diskrete Abbildungen wie den Bernoulli-Shift und die Baker-Map, um die wesentlichen Effekte wie Annäherung eines Nichtgleichgewichtssystems an das Gleichgewicht, zu verstehen. Begriffe wie Ergodizität und fraktale (seltsame) Attraktoren spielen dabei eine Rolle.

Quellen:

• J. R. Dorfman: “An Introduction to Chaos in Nonequilibrium Statistical Mechanics”
• L. Reichl: "The Transition to Chaos in Conservative Systems"

Quellen:

• J. D. Murray: "Mathematical Biology: I. An Introduction" [57], "Mathematical Biology: II. Spatial Models and Biomedical Applications"

Quellen:

• Feynman Lectures on Computation [58]

In einkomponentigen Reaktions-Diffusions-Systemen können 2
verschiedene Arten von Wellenlösungen, also Lösungen mit einem in
einem mitbewegten Koordinatensystem stationären Pulsprofil,
auftreten. Eine Art von Fronten verbindet 2 stabile Fixpunkte des
Systems, die zweite Art verbindet einen stabilen mit einem
instabilen Fixpunkt des Systems. Obwohl beide Arten sich auf den
ersten Blick kaum voneinander zu unterscheiden scheinen,
verhalten sie sich mathematisch sehr unterschiedlich, mit
weitreichenden Konsequenzen für die Musterbildung in räumlich
ein- und mehrdimensionalen Systemen. Experimentell können beide
Arten von Frontlösungen beobachtet werden.

Quellen:

• Wim van Sarloos: "Three basic issues concerning interface dynamics in nonequilibrium pattern formation" [59]
• Wim van Sarloos: "Front propagation into unstable states" [60]