Stabilisierung von Fixpunkten durch zeitverzögerte Rückkopplung

Die zeitverzögerte Rückkopplungskontrolle wurde zunächst entwickelt,  um instabile periodische Orbits (UPOs), die in einem chaotischen Attraktor eingebettet  sind, zu stabilisieren, wobei die Verzögerungszeit gleich der Periode des Ziel-Orbits gesetzt wird. Wesentlich weniger ist über die Stabilisierung von deterministischen Fixpunkten [1] mit dieser Kontrollmethode bekannt. Wir konnten in einer systematischen analytischen und numerischen Untersuchung zeigen, dass die linearen Moden des Fixpunktes der Delay-Differenzialgleichung und die Kontrollbereiche eine  charakteristische Struktur haben. Hierzu gingen wir vom generischen Fall eines dynamischen Systems aus, welches einen instabilen Fokus im Ursprung hat. Die zugehörige charakteristische Gleichung für die komplexen Eigenwerte lässt sich exakt mit Hilfe der Lambertfunktion lösen und die Stabilisierungsbereiche in der Kontrollparameter-Ebene lassen sich analytisch bestimmen,  sogar unter Einschluss von Tiefpassfiltern und Latenzzeiten (z.B. durch  Signalverarbeitung). Für ganzzahlige Vielfache der intrinsischen Periode ist niemals Kontrolle möglich.

Auf der Basis der Lambert-Funktion haben wir eine explizite Eigenmodenentwicklung der zeitverzögerten Dynamik angegeben, die über diese lineare deterministische Delay-Gleichung hinaus auch eine Reihe von Anwendungsmöglichkeiten auf stochatische Delay-Gleichungen und auf eine schwach nichtlineare Analyse eröffnet. Das asymptotische Skalenverhalten der Eigenmoden für große Verzögerungszeiten und die Zerlegung des Spektrums in einen pseudokontinuierlichen Anteil und maximal zwei stark instabile Eigenwerte haben wir in Kooperation mit Teilprojekt B2 analytisch bestimmt und mit den numerischen Lösungen verglichen.

In Zusammenarbeit mit Teilprojekt A6 haben wir diese Kontrollmethode an einem realen physikalischen System, einem Multisektions-Halbleiterlaser, angewandt, um den stationären Zustand (cw-Laseremission) zu stabilisieren und Intensitätspulsationen zu unterdrücken. Dies ist die erste rein optische Realisierung der nichtinvasiven Pyragaskontrolle zur Stabilisierung von Fixpunkten. Die zeitverzögerte Rückkopplung kann mit Hilfe eines angekoppelten Fabry-Perot-Resonators auf sehr kurzen Zeitskalen und Nanometer-Längenskalen verwirklicht werden, was neben den Grundlagenaspekten auch wichtige Anwendungen auf die ultraschnelle optische Informationsverarbeitung verspricht. Wir konnten die entscheidende Rolle einer phasenempfindlichenRückkopplung aus unserem theoretischen Modell ableiten: Ersetzt man die Einheitsmatrix des Rückkopplungsschemas durch eine Drehmatrix mit Phasenwinkel, so werden die Stabilisierungsbereiche in der Kontrollparameter-Ebene deformiert und die Kontrolle gelingt für Parameterwerte, bei denen für verschwindenen Phasenwinkel keine Stabilisierung möglich ist.