Stabilisierung periodischer Orbits durch zeitverzögerte Rückkopplung

Um die grundlegende Wirkungsweise der Rückkopplungsschleife zu verstehen, ist eine Bifurkationsanalyse im Parameterraum der Kontrollkraft nützlich. Bifurkationsdiagramme erlauben systematische Rückschlüsse auf allgemeine Bifurkationsmechanismen der Stabilisierung periodischer Orbits durch zeitverzögerten Rückkopplung. Darüberhinaus machen sie Vorhersagen über die Wirkung verschiedener Kontrollschemata in Abhängigkeit ihrer Parameter. Wir haben hierzu das Rössler-Modell als Paradigma eines einfachen dynamischen Systems mit nicht-hyperbolischen chaotischen Attraktoren numerisch untersucht. Dabei fanden wir ein kompliziertes, mehrblättriges Bifurkationsdiagramm in der Kontrollparameter-Ebene mit Hopf-Bifurkationen, Neimark-Sacker-Bifurkationen eines Torus, Periodenverdopplungskaskaden und delay-induziertem Chaos. Die einzelnen Blätter entsprechen der Bifurkation von periodischen Lösungen mit jeweils verschiedener Periode. Entspricht die Verzögerungszeit nicht einem ganzzahligen Vielfachen der Periode des ungestörten instabilen  periodischen Orbits (UPO), kann ein delay-induzierter stabiler Orbit mit einer anderen Periode durch eine superkritische Hopf-Bifurkation generiert werden. Diese Periode konnten wir für Zeitverzögerungen, die ungefähr der Periode des ursprünglichen UPOs entsprachen, näherungsweise analytisch berechnen.

Als einschneidende Einschränkung des Pyragas-Verfahrens ist allgemein akzeptiert, dass sich periodische Orbits mit einer ungeraden Anzahl von reellen Floquet-Multiplikatoren größer als eins nicht stabilisieren lassen (Odd Number Limitation Theorem). Allein die Arbeit von Nakajima (1997) wurde in diesem Zusammenhang über neunzig Mal zitiert. In Zusammenarbeit mit dem Teilprojekt A7 ist es uns nun gelungen, dieses Theorem zu widerlegen. Wir konnten für den generischen  Fall eines instabilen periodischen Orbits, der durch eine subkritische Hopf-Bifurkation generiert wird (und somit einen einzelnen reellen Floquet-Multiplikator größer als eins hat), zeigen, dass dieser für geeignete Kontrollparameter doch stabilisiert werden kann. Entscheidend ist hierbei, dass die Kontrollkraft nicht durch eine Einheitsmatrix, sondern mit einer Phase (wie das z.B. in optischen Systemen natürlicherweise auftritt) angekoppelt wird. Hierzu haben wir die komplexe Normalform einer subkritischen Hopf-Bifurkation betrachtet, erweitert durch die Pyragaskontrolle. Die Hopf-Bifurkation erzeugt periodische instabile Lösungen. Die Hopf-Kurve und die Pyragas-Kurve lassen sich analytisch angeben. Auf der Pyragas-Kurve verschwindet nach Konstruktion der Rückkopplungsterm. Verläuft die Pyragas-Kurve steiler als die Hopf-Kurve, so muss sie stabil sein, was wir sowohl durch direkte Simulation als auch durch Berechnung der Floquet-Multiplikatoren verifiziert haben. Diese Bedingung lässt sich analytisch als Bedingung an die komplexe Kontrollkraft formulieren und ergibt einen Stabilisierungsbereich. Tatsächlich durchquert der einzelne reelle Floquet-Multiplikator bei einer bestimmten Kontrollamplitude den Einheitskreis in der komplexen Ebene und wird stabil. Da nicht tordierende instabile periodische Orbits, wie der bei einer subkritischen Hopf-Bifurkation erzeugte, in nichtlinearen Systemen in Physik, Chemie und Biologie häufig vorkommen, haben unsere Resultate große Bedeutung nicht nur für das Grundlagenverständnis der Pyragaskontrolle, sondern eröffnen auch breite Anwendungsmöglichkeiten.