Zeitverzögerte Rückkopplungskontrolle rauschinduzierter Oszillationen

Ein Schwerpunkt unserer Arbeit lag im letzten Antragszeitraum auf der Kontrolle rauschinduzierter Oszillationen durch zeitverzögerte Rückkopplung. In Zusammenarbeit mit den vom Sonderforschungsbereich finanzierten Gastwissenschaftlern Dr. N. Janson und Dr. A. Balanov konnten wir erstmals zeigen, dass in nichtlinearen stochastischen Systemen, die ohne Rauschen keine autonomen Oszillationen zeigen, aber mit Rauschen in irregulärer Weise oszillieren, durch zeitverzögerte Rückkopplungskontrolle sowohl deren Regularität (Kohärenz) als auch deren Zeitskalen gezielt beeinflusst werden können.

Wir haben zunächst einfache generische Modelle studiert, und zwar den Van-der-Pol-Oszillator [1] unterhalb der superkritischen Hopf-Bifurkation als Modell für ein System in der Nähe einer Bifurkation und das FitzHugh-Nagumo-Modell als Prototyp eines anregbaren Systems. Als quantitative Maße für die Kohärenz der Oszillation sind je nach System entweder die Korrelationszeit mit der normierten Autokorrelationsfunktion, die normierte Varianz der Interspike-Intervalle oder der Kohärenzfaktor (der Quotient aus der Höhe und  Halbwertsbreite des dominanten spektralen Peaks) geeignet. Für beide Modellklassen untersuchten wir im Detail die Abhängigkeit der Korrelationszeit und der spektralen Eigenschaften von der Rauschintensität und den Kontrollparametern.

Beim Van-der-Pol-Oszillator konnten wir das Verhalten durch eine Analyse der Umgebung des Fixpunktes quantitativ erklären, da sich das System knapp unterhalb einer lokalen Bifurkation befindet. Ohne Rauschen und Kontrolle findet eine superkritische Hopf-Bifurkation statt und unterhalb der Bifurkation ist der Fixpunkt ein stabiler Fokus. Die komplexen Eigenwerte des Fixpunktes der Delay-Gleichung legen fest, welche Moden durch weißes Rauschen angeregt werden können: Der Eigenwert mit dem jeweils betragsmäßig kleinsten Realteil, d.h. der am wenigsten stabile, bestimmt die Korrelationszeit sowie die dominante Periode der rauschinduzierten Oszillationen; Wenn sich die Realteile zweier Moden überkreuzen, springt die dominante Periode auf den neuen Eigenwertzweig. Sowohl das Rauschspektrum als auch die Korrelationszeit lassen sich in linearer Näherung analytisch berechnen.

Darüber hinausgehend haben wir eine selbstkonsistente  Mean-field-Näherung entwickelt, die selbst für relativ große Rauschintensitäten hervorragende Übereinstimmung mit den numerischen Resultaten ergibt.  Hierzu wird der nichtlineare Term durch einen reskalierten Bifurkationsparameter ersetzt und dieser selbstkonsistent aus der Varianz des somit erhaltenen multivariaten Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses bestimmt: Für diesen effektiven linearen Prozess lässt sich die Korrelationszeit für optimale Verzögerungszeit. und das Rauschspektrum explizit analytisch berechnen. Für optimal gewählte Verzögerungszeit. wird die Korrelationszeit durch Kontrolle deutlich erhöht, für schlechte Verzögerungszeit. sinkt sie praktisch auf Null. Im Gegensatz zu der lokalen Dynamik des Van-der-Pol-Oszillators beschreibt das FitzHugh-Nagumo-Modell ein anregbares System mit globaler Dynamik und wird häufig zur Erklärung des Spiking-Verhaltens von Neuronen herangezogen: Für bestimmte Parameterwahl ist ein stabiler Knoten der einzige Attraktor des deterministischen Systems. Die zeitverzögerte Rückkopplungskontrolle lässt sich nun nicht mehr durch eine lokale Analyse erklären, jedoch haben wir zusammen mit Teilprojekt A4 ein diskretes Zustandsmodell entwickelt, das eine semianalytische Behandlung erlaubt.

Eine wichtige Erweiterung ist die Rückkopplungskontrolle von gekoppelten neuronalen Systemen, die wir anhand zweier symmetrisch-diffusiv gekoppelter FitzHugh-Nagumo-Gleichungen als Miminalmodell für zwei wechselwirkende Neuronen [2] untersuchten. Von praktischer Relevanz ist die Beeinflussung der gekoppelten Dynamik durch lokale Eingriffe, daher gingen wir der Frage nach, inwieweit die Rückkopplung auf eines der Subsysteme das Kohärenz- und Synchronisationsverhalten des Gesamtsystems kontrollieren kann. In der Tat fanden wir, dass sich die Korrelationszeiten und die mittleren Interspike-Intervalle beider Subsysteme durch die Rückkopplungskontrolle steuern lässt. Ein weiteres interessantes Ergebnis ist, dass sich die stochastische Synchronisation der beiden Subsysteme - gemessen sowohl durch das Verhältnis (Frequenzsynchronisation) als auch durch den Synchronisationsindex (Phasensynchronisation) -in beide Richtungen verändern lässt, d.h. die Synchronisation lässt sich je nach Wahl der Verzögerungszeit und der Kontrollamplitude verstärken oder unterdrücken. Insbesondere zeigt sich auch hier eine resonanzartige Abhängigkeit von der Verzögerungszeit. Besonders interessant ist dieses Resultat im Hinblick auf mögliche neuronale Anwendungen, wo eine hohe Synchronisation oft mit einem krankhaften Zustand (Parkinson, Epilepsie) verknüpft ist, der sich offenbar durch lokale Rückkopplungskontrolle unterdrücken lässt. Ähnliche Effekte wurden im Teilprojekt C3 für Systeme sehr vieler global gekoppelter Neuronen mit globaler Rückkopplung gefunden.